常微分方程教程-丁同仁(第二版)-习题解答.pdf

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常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-1-习题习题 2-1 判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：0)12()13(2=+dyxdxx 解：13),(2=xyxP，12),(+=xyxQ，则0=yP，2=xQ，所以 xQyP 即，原方程不是恰当方程 0)2()2(=+dyyxdxyx 解：,2),(yxyxP+=,2),(yxyxQ=则,2=yP,2=xQ 所以xQyP=，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=+ydyxdyydxxdx 两边积分得：.22222Cyxyx=+30)()(=+dycybxdxbyax(a,b 和 c 为常数)解：,),(byaxyxP+=,),(cybxyxQ+=则,byP=,bxQ=所以xQyP=，即 原方程为恰当方程 则0,axdxbydxbxdycydy+=（）两边积分得：.2222Ccybxyax=+4)0(0)()(=+bdycybxdxbyax 解：,),(byaxyxP=,),(cybxyxQ=则,byP=,bxQ=因为 0b,所以xQyP，即，原方程不为恰当方程 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-2-0sin2cos)1(2=+udttudut 解：,cos)1(),(2ututP+=ututQsin2),(=则,cos2uttP=,cos2utxQ=所以xQyP=，即 原方程为恰当方程 则,0cos)sin2cos(2=+uduudttudut 两边积分得：.sin)1(2Cut=+0)2()2(2=+dyxyedxyeyexxx 解：xyeyxQyeyeyxPxxx2),(,2,(2+=+=，则,2yeyPx+=,2yexQx+=所以xQyP=，即 原方程为恰当方程 则,0)2()(22=+dyxyedxyyedxexxx 两边积分得：.)2(2Cxyeyx=+0)2(ln)(2=+dyyxdxxxy 解：,2ln),(),(2yxyxQxxyyxP=+=则,1xyP=,1xxQ=所以xQyP=，即 原方程为恰当方程 则02)ln(2=+ydydxxxdydxxy 两边积分得：23ln3yxyx+.C=),(0)(22为常数和cbacxydydxbyax=+解：,),(,),(22cxyyxQbyaxyxP=+=则,2byyP=,cyxQ=所以 当xQyP=，即 cb=2时，原方程为恰当方程 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-3-则0)(22=+cxydydxbydxax 两边积分得：233bxyax+.C=而当cb 2时原方程不是恰当方程 01222=+dttssdsts 解：,),(,12),(22tssstQtsstP=则,212tstP=,212tssQ=所以xQyP=，即原方程为恰当方程,两边积分得：Ctss=2 10,0)()(2222=+dyyxyfdxyxxf 其中)(f是连续的可微函数 解：),(),(),(),(2222yxyfyxQyxxfyxP+=+=则,2fxyyP=,2fxyxQ=所以xQyP=，即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dxC+=,即原方程的解为CyxF=+)(22(其中 F 为 f 的原积分)常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-4-习题习题 2-2 1.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：()yxdxdy2=解：原方程即为：dxxydy2=两边积分得：0,2332=yCxy ()1(32xyxdxdy+=解：原方程即为：dxxxydy321+=两边积分得：1,0,1ln2332=+xyCxy ()0sin2=+xydxdy 解：当0y时 原方程为：0sin2=+xdxydy 两边积分得：0)cos(1=+yxc 又 y=0 也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为 0)cos(1=+yxc ()221xyyxdxdy+=；解：原方程即为：2(1)1dyx dxy=+两边积分得：cxxarctgy+=22，即)2(2cxxtgy+=常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-5-()2)2cos(cosyxdxdy=解：当02cosy时 原方程即为：dxxydy22)(cos)2(cos=两边积分得：2222sin2tg yxxc=y2cos=0，即42+=ky也是方程的解.(Nk)()21ydxdyx=解：当1y时 原方程即为：xdxydy=21 两边积分得：cxy=lnarcsin 1=y也是方程的解.()yxeyexdxdy+=解原方程即为：dxexdyeyxy)()(=+两边积分得：cexeyxy+=+2222，原方程的解为：ceexyxy=+)(222.2.解下列微分方程的初值问题(),03cos2sin=+ydyxdx 3)2(=y；解：两边积分得：cyx=+33sin22cos，即 cxy=2cos33sin2 因为 3)2(=y,所以 3=c.常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-6-所以原方程满足初值问题的解为：32cos33sin2=xy ()0=+dyyexdxx，1)0(=y；解：原方程即为：0=+ydydxxex，两边积分得：cdyydxexx=+2)1(2，因为1)0(=y，所以21=c，所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=+dyydxexx ()rddr=，2)0(=r；解：原方程即为：drdr=，两边积分得：cr=ln，因为2)0(=r，所以2ln=c，所以原方程满足初值问题的解为：2lnln=r 即 er2=(),1ln2yxdxdy+=0)1(=y;解：原方程即为：dxxdyyln)1(2=+,两边积分得：3ln3yyxxxc+=,因为0)1(=y，所以1=c，所以原方程满足初值为：3ln13yyxxx+=()321xydxdyx=+，1)0(=y；解：原方程即为：dxxxydy231+=，常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-7-两边积分得：cxy+=22121，因为1)0(=y，所以23=c，所以原方程满足初值问题的解为：311222=+yx 3.解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图()xdxdycos=解：两边积分得：cxy+=sin 积分曲线的简图如下：()aydxdy=，(常数0a)；解：当0y时，原方程即为：dxaydy=积分得：cxya+=ln1，即)0(=cceyax 0=y也是方程的解 积分曲线的简图如下：y 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-8-()21ydxdy=；解：当1y时，原方程即为：dxydy=)1(2 积分得：cxyy+=+211ln，即 1122+=xxcecey 1=y也是方程的解 积分曲线的简图如下：()nydxdy=，)2,1,31(=n；解：当0y时，)2,31=n时，原方程即为 dxydyn=，积分得：cynxn=+111)1=n时，原方程即为 dxydy=积分得：cxy+=ln，即)0(=cceyx 0=y也是方程的解 积分曲线的简图如下：常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-9-4.跟踪：设某 A 从 xoy 平面上的原点出发，沿 x 轴正方向前进；同时某 B 从点开始跟踪 A，即 B 与 A 永远保持等距 b试求 B 的光滑运动轨迹 解：设 B 的运动轨迹为)(xyy=,由题意及导数的几何意义，则有 22ybydxdy=，所以求 B 的运动轨迹即是求此微分方程满足by=)0(的解 解之得：222222ln21ybybbybbbx+=5.设微分方程)(yfdxdy=(2.27)，其中 f(y)在ay=的某邻域(例如，区间ay)内连续，而且ayyf=0)(，则在直线ay=上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，当且仅当瑕积分=aayfdy)(发散)证明：()首 先 经 过 域1R：,+x aya和 域2R：,+x 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-10-+aya内任一点(00,yx)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定 00)(xxyfdyyy=.(*)这些积分曲线彼此不相交.其次，域1R(2R)内的所有 积分曲线cxyfdy+=)(都可由其中一条，比如0)(cxyfdy+=沿着 x 轴的方向平移而得到。

因此只需详细考虑经过1R内某一点),(0ax的积分曲线，它由(*)式确定.若aayfdy)(收敛，即存在 1xx=，使得01)(xxyfdyaa=,即所讨论的积分曲线当 1xx=时达到直线ay=上点(ax,1).由(*)式易看出，所论积分曲线在(ax,1)处与ay=相切，在这种情形下，经过此直线上的()一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以aayfdy)(发散.若积分aayfdy)(发散，此时由(*)式易看出，所论的经过),(0ax的积分 曲线，不可能达到直线 ay=上，而以直线ay=为渐近线，又注意到ay=也 是(.13)的积分曲线，所以(2.13)过),(0ax的解是唯一的.注：对于2R内某点(+ax,0)完全可类似地证明.6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形()ydxdy=；常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-11-()=000lnyyyydxdy 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-12-习题习题 2-3 1.求解微分方程：()xxeydxdy=+2;解：,2)(=xp xxexq=)(，由公式得：xxxxxxexecedxexecey+=+=222)(，原方程的解为：xxxexecey+=2 ()xytgxdxdy2sin=+；解：,)(tgxxp=xxq2sin)(=，cxdxxxddxxxtgxdxdxxp+=coslncos)(coscossin)(，则有 xxcxcxdxxxcxdxexceyxx2coslncoslncos2cos)cos2(cos)cos2sin(cos)2sin(=+=+=原方程的解为：xxcy2cos2cos=(),sin2xydxdyx=+1)(=y；解：原方程即为：xxyxdxdysin2=+，则xxxqxxpsin)(,2)(=，cxdxxdxxp+=2ln2)(，则有)sincos(1)sin(1)sin(22lnln22xxxcxxdxxcxexxceyxx+=+=+=因为1)(=y，所以0=c 原方程满足初值问题的解为：xxxxysin1cos12+=()xyxdxdy+=1112，1)0(=y；常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-13-解：xxqxxp+=1)(,11)(2,2111ln)(+=xxdxxp 则2111ln+=xxey+)1(xc)2111lndxexx+=1)1(111)1(1122xdxxcxxxdxxcxx 要求满足初值问题1)0(=y的解 只需求为周期的连续函数 试 证：()若0)(=xq，则 方 程 的 任 一 非 零 解 以为 周 期)(xp的 平 均 值=00)(1dxxpp()若0)(xq，则方程的有唯一的周期解0p试求出此解 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-15-证明：()设)(xy=是方程的任一非零解 则,0)(=xxdxxpcey且,0)(+=wxxdxwxpcey也是解 xxdxxpe0)(,0)(+=wxxdxwxpe+=wxxdxxpxxdxxpee)(0)(10)(=dxxpe=00)(dxxp(2)方程的通解为+=xdxxpcey0)(xdttpxsesq0)()(选择常数c使)(xy成为 周期函数，即)()(xywxy=+(*)我们先来证明，要使(*)对所有x成立，其实只需对某一特定 x(例如0=x)成立,即只需)0()(yy=.事实上，由于)(xy是方程的解，且)(。