综合除法和因式定理.pdf

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数学教学通讯2002年8(下)重庆96徐合除 孩和因式定理(四川省乐山市 实验中学1640 0 0)胡同祥宋杨一、知识 要点和基本方法:综合除法和因式定理、余式 定理是 研究 多项式 除法的有力工具,在数学竞赛 中具有广泛的应用.本专题向大 家介绍一些这方面的初步知识,供大家学习时参考.1.用记号fx()表示多项式关于x的代数式 常用记号f(x)或g(x)等表示,例己矛之户公之户言之砂卜巴偏吧补月沦之侣吧嘴妞协巴令之今之砂公之公之写、竺公之户公之砂公之尸矛己了矛己今己个巴公之洲公之孕己今乙矽魂个己个己尹补己公心沪兮之户常嗯尸卜乙公心个各公己布冈少卜少会心砂宁心石闪夕补 各夕心今例巧因式分解尸+Zxy一8少+Zx+1 4y一解:因 扩+Zxy一8少二x(一Zy)x(+4y),故设原式=(x一2夕+a)(x+4少+b),即xZ+Zx夕一8夕2+Zx+14y一3=2,+Zx夕一8少2+(a+b)x+(4a一Zb)夕+ab比较两过 a+b=24a一Zb 声14ab=一3(a=3解得_tb=一l故原式(x一Zy+3)x(十4y一l)2.轮换对称法例16分解因式a3+b3+c,一3a阮分析:此式是关于a、b、:的三次齐次对称式,若能分解,则必为一次齐次对称式a(+b十)和二次齐次对称式aZ一卜bZ+cZ_卜k(ab+c b+a c)之积,k是待定系数.解:设原式二(a+b+。

)aZ+b,+cz+k(ab+阮+a c),比较两边同类项ab c的系数得k二一l,:.原式=(a十b+)(aZ+b,+eZ一ab一c b一ac)二少(x,一少2)+yz(yZ一22)+zx(22一x,)分析:此式是关于x、y、z的四次齐次轮换式,注意到xy时原式=o,则原式有因式x一y,根据轮换性知,亦有因式y一z,z一x,而(x一y)(y一幻(z一x)是三次轮 换式,原式还有一个一次 齐 次轮换因式k(x+y+2).于是有如下简捷解法.解:设原式二k(x+y+)z(x一刃(y一)z(z一x),比较两边护y的对应系数得k=一1:.原式二一(x十y+)z(x一y)(y一)z(z一x)3.求根分解法若x=a是多项式f(x)的一个根,则x一a是 f(二)的一个因式,利用这一知识,往往可通过观察多项 式系数的特点进行分解.例巧分解因式扩+2分一a x一5砂+3解:15+2xl一13一5xl:+3=0,:.x一1是原式的一个因式.原式=(x一1)(x+3a x十2 x2一3 x一3)又14+3x13+2xl忿一3xl一3=0,:.x一1是x+3砂+2x2一3x一3的一个因式:原式=(x一1)2(x3+4x2+6x+3)又(一1)3+4X(一1)2+6X(一1)+30,:.x十1是 x 3+4砂+6x十3的一个因式:原式=(x一1)2(二+1)(xZ+3x+3)评注:这种方法往往需要观察系数特 点,从而确定一个 因式,然后用多项式的竖式除法确定另一因式.从以上可以看出:在分解因式时,首先应考虑使用基本 方法,分解后或分解 不凑效时再考虑运用转化方法将 其转化后使用基本方法分解.最后才考虑使用特殊分解方法进行分解.练习:分解因式尸一x,x“2一3了+l+2分;(x:+夕2一22)2一4x2尹;a(a+1)一b(b+l);二2+5砂+6少2+x+3夕,(xZ+3x一2)(xZ+x 3+4)一16;(a+b一Zab)(a+b一2)+(1一ab)2,(l+x+x,+二),一x,;a一11a2+1;La(6a+l lb+4)+b(3b一l)一2.70重庆数学教学通讯2002年8(下)如:用f(,)表示代数式2扩+x+3,可记为f(二)2尸+,十3;这时j(一1)表示当x一一1时,代数 式2户+二斗一3的值,即f(一l)二Zx(一l)“一卜(一 1)+3=4,同样地f(田二2x02一卜。

+3=3等等.用f(二)可以代表关于二的条件不同的代数式,但在同一个问题中不同的代数式要用 不同的字母表示,如f(,)、g(x),r(x)等.2.综合除法为了搞清楚 综合除法的定义,我们先 来看一个例子:例z计算(3二一干4x3一7沈2一5)令(、r一3).解:类似多位数的竖式除法,一元多项式相除也可用竖式演算,即4二2+sx+18J一3)4义”一7了“十3x一54x3一12:25x2+一3r5劣2一15了182一518了一5449:.商式二4扩+sx一卜1 8、余式二胡.仔细观察分析上面的竖式,可发现有如下规律:(I)除式x一3的首项 系数为1,而商式的首项系数是4,正好是被除式的首项系数;商式的第二顶、第三项的系数5、1 8与被除式中第一项、第二项求得的余式中的首项系数相同.(2)第一次余式的首项系数是5,就是把 被除式的第二项系数(一7)减去商的首项系数4与除式的常数项(一3)的积所得.下同.因此,上面的除法可用下面的简便算式来进行:被除 式的 系数,4一7+3一筑一)一工 2一下弓一5己商式的系数一,搜十一;3十沐门9,一余数为了计算方便.上式的减法 可以改为加法,这只需要将减数一 12,一15一54改变符号,且同时把除式中的常数项反号,即一3变为3就行了.因此,上面的算式又可进一步简化为:4一7一卜3一53卜、一、l:一、15一、:4峨一卜5十18卜犷9一余数这种一元多项式相除的简便方法,叫综合除法,利用综合除法演算时.需特别注意两点:(l)被除式要先按二的降幕排列好.遇有缺项,必须“一卜。

”补足;商式中除余数外的数也是按降幕排列的商式的系数.(2)必须把除式的常数项改变符号后再计算.3余数定理多项式f(、)除以(二一a)所得的余数等于 厂a(),如 f(x)一3二,一5x 2一 2除以(二十3)所得的余数为:f(一3)=3X(一3)“十sx(一3)它一2二 一3.84.因式定理若 多项式f(x)能被 x(一a)整除.即f二)有,个因式(二一a),则f(a)=;反之,若f(a)二o,则二一“必为多项式f(x)的一个因式.由此可以得出因式定理是余数定理 的一个特殊形式.如已知f(一动一乙3十7尸潇k含有因式2二一十3,求.k分析:由因式定理,得石于3一2.八一李一:、(一冬)3+:、2一、2解得k=一.9二、应 用举例例l已知3二3一 sx,一55厂一sx一6整除,求所得 的商.分析与解:二2一sx一6“综合除法(一3 2x斗一1 2能被 扩6、(二+1),作一13二一8、3一55二2一32二斗一12被xZ一5:整除所得 的商为3尸+7二一.2例2求多项式2x 4+3尸一2尹一4 8 除以,的商式和余数.分析与解:12+3一2一8卜一土二二址丝 兰丝 二些十2十7十 2一十2引十一O:.商式为2护+7尸+12二十2 4,余数为。

例3分解因式:丫一 4矿十a+6分析与解:设f八:)二a 3一4 a2+“+6其 常数项为6.它的约数有士1,土2.士3,土6,则f(a)可能有因式为a士1,a士2,a士3,a士6而.f(一1)二0,用综合除法:一4一4+1+5+6一6l一56(+I0二a3一4a2十a十6=(a+l)(a一2)(a一3).例4已知f(x)=Zx s+7护+差能被2二十3整除,求.k分 析与解:f(x)能被Zx+3整除:.厂(二)含有因式Zx+.3由因式定理,得f(一冬)一:ZX3、,灭一-万)“十花二U乙解之得例53、,_L一七丁少一十丫入乙k二 一.9已知f(x)=尹一6二2一a二十能被尸一4x+3整除,求a,.分析与解:丫尸一4x十3=x(一3)x(一l)丫f(x)能被护一4x+3整除,利用因式定理有:.f(3)二O且f(1)二O3,一6X32一3a+c=013一6X12一a十=01人匕一一一一一一a C解之得例6+x,”+1+l整除.求证 f(x)=x,一卜x,8,一卜二,r+十一二,2 2能被gx()=扩+x“一卜扩十一+x,一十:(Zx一5x3+11xZ+x一1 5)+(x一3)(二5+6x4+9x3一14x+18)+(x+4)2.已知f(二)=户+8扩一Zx一1 4,求f(x)除以Zx一1的余数.f(x)除以2二+l的余数.3.用余数定理判断f(二)=扩+6砂+9x3一14x+1。

是否含有因式x+44.若f(x)二x+,护+nx一1 6含有因式x一1和:一2,求,(89年四川赛题)5.分解因式:户+x一7护一x+6x+2x3一9x2一Zx+8.6.证明:f(x)二x s+x+x s+尸+x+1能被x+1整除.7.已知:a、b、为实数,且多项式a x十a扩+bx+:能被尹十3x一4整除,求a 4+:的值.(第八届“希望杯”初二第二试试题)答案与提示:1.商式=2护+:x+14 x+4 3,余数=1 14;商式=x+2护+扩一4x+2,余数二1.0_.一“._,1、_152.利用余数定理可知:r=f(令)二一1 2共;一,-一一”一、2一16,_._二、._.,1、_1 5利用余数定理可知:r=f(一资)=一1 0共.,一,-一,一、2一 1 63.了(一4)二2笋O,f(x)不含因式二+.44.利用因式定理可建立方程组证明:f(x)二g(x)q(x)等价于f(x)一g(二)=gx)q(x)一1.故只要证 明f(x)一盯x)能被g(x)整除即可.而f(x)一g(x)二(x,一x,)+(x.朋一文,)+(x7?7一x7)+一+(x22 2一xZ)+(x,一x)=,9(x,。

)”,一z+x月(xo)日8一1+x,(二,)77一一+x,(x,)2,一l+x(xo)一1另有(x)一l=(x“一1兀(x,0)“一“+(二,”)”一2+汁一二切+l 因此 式右边每项都有因式x,”一1一(x一1)(丫+x s+x+l),而x川一l=(二一1)g(x)所以式右边能被g(x)整除,因而 f二)一g(动能被g(x)整除,故原题结论正确.1唱+叨13+nXI一16=02屯+23,n+Zn一16=0解之释!”一5几叨=20二一10.05.f(二)一才+尸一7x2一x+6=十1)(x一2)(J+3)fx()二了+2x 3一9x2一Zx+8=+l)(x一2)(了+4).6.利用因式定理可知f(一l)一O,因此 能被x+1整除.7了2+3x一4=(J一1)(x+4)由 因式定理可建立方程组,得(a+b+“十 l二0(x一1)(x(x一l)(x三、练习题1.用综合除法求下列各式的商式和余式.(16a一4b+一64=o又4十,得Zoa+sc60,4a+c二12。