教学课件-第二章、行列式课件.pptx

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,-,-,1,第 二 章,行 列 式,行列式的概念,n 阶行列式的定义,行列式的性质,行列式按行（列）展开定理,行列式的计算,再论可逆矩阵,1 行列式的概念,3,二元线性方程组的求解（消元法）,.,a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,(1),(2),背景：,当,时，方程组有唯一解,一般形式,也可表示为,其中,4,定义,1.1,二阶行列式,为了方便表示上述结果，

2、引入下列定义,（,1,）,等号右边的式子称为行列式的展开式,（,2,）,行列式的计算结果是一个数，称为行列式值。,（,3,）,称为行列式的元素,右下标表示位置,（,4,）,正确区分矩阵和行列式,:,矩阵是表,行列式是数,（,5,）,二阶行列式也可以称为矩阵 的行列 式,注意：,引入二阶行列式的,定义,后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。,当 时，有,其中，表示分母的行列式称为系数行列式,01,同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组,02,a11x1+a12x2+a13x3=b1,03,a21x1+a22x2+a23x3=b2,04,a31x1+a32x2+a33x3=b3,05,

3、定义1.2,06,对角线法则,07,三阶行列式,08,系数行列式,相应的三元线性方程组,7,2,1,3,当系数行列式,方程组有唯一解,其中,观察二阶行列式和三阶行列式：,8,说明：,对角线法则,只适用于二阶与三阶行列式,(1),项数：,2,阶行列式含,2,项，,3,阶行列式含,6,项,这恰好就是,2!,3!.,(2),每项构成,:2,阶和,3,阶行列式的每项分别是位于,不同行不同列的,2,个和,3,个元素的乘积,.,(3),各项符号,:2,阶行列式含,2,项,其中,1,正,1,负,3,阶,行列式,6,项,3,正,3,负,.,思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应该如何？,注意：系数行列式为,9

4、例1 计算行列式,例2 解方程组,2 n阶行列式的定义,10,n,!,定义,2.1,由,n,个不同的数字构成的一个有序数组称为这,n,个数字的一个,n,级排列,.,例如：,1 2 3 4 5,5 1 2 3 4,5 3 2 1 4,都是数,1,，,2,，,3,，,4,，,5,构成的一个,5,级排列,.,自然排列,.,按照由小到大的顺序排成的排列称为,定义,2.2,一,.,排列的逆序数,注：,n,个数的不同排列有,个,一个排列中出现的逆序的总数,定义2.3,11,在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列有一个逆序.,1,称为这个排列的逆序数，排列,2,的逆序数通常记为,3

5、例如：排列12的逆序数为 ，,4,排列21的逆序数为 ，,5,排列231的的逆序数为 ，,6,排列213的逆序数是 。,7,或者,=,的逆序数的计算,定义2.4 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。,n 级排列,求排列 32514 的逆序数.,例1,例2,求排列 453162 的逆序数.,例3,求排列 423165 的逆序数.,=,思考：由上面的例题你还能得到什么方法来计算排列的逆序数？,定义,2.5,把一个排列中的某两个数交换位置，其余的数不动，这种交换称为一次对换,.,将相邻的两个数对换，称为相邻对换,.,定理,2.1,一次对换，改变排列奇偶性,证明：（由特殊到一

6、般）,思考：,对排列进行一次对换，排列的奇偶性是否发生变化？,例：排列,132,的逆序数是,1,，为奇排列。将数,1,，,2,做一 次对换变为排列,231,，其逆序数是,2,，为偶排列。,先证相邻对换,15,的逆序数不变,;,经对换后 的逆序数增加,1,当 时,，,当 时，,经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少,1.,因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性,.,对换 ，,除 外，其它元素的逆序数不改变,.,设排列为,设排列为,16,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列都改变,奇偶性,.,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,再证一般对换,现来对换 与,定理,2.2,时，,n,个数的所有排列中，奇偶

7、排列各占一半，各为 个,.,推论,1,偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。,推论,2,任意一个,n,级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性,.,二.n阶行列式的定义,18,1.,概念的引入,三阶行列式,说明：,（,1,）项数与列标排列个数的关系：,三阶行列式,共有 项，即 项,（,2,）,每一项的结构,：,每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（,3,）每项的符号：每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,因此,三阶行列

8、式可写成下列形式,2.n阶行列式的定义,20,由 个数，组成的一个 行 列的式子，用记号,其展开式为,表示,称为一个 阶行列式,其中，,连加号表示对所有这样的排列求和,21,即,说明,:,（,1,）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方,程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而,引入的,;,（,5,）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,;,（,6,）上式称为,n,阶行列式的完全展开式,.,占一半，行列式是一个数,;,（,2,）阶行列式是 项的代数和,其中正负项各,（,3,）阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积,;,(4),的符号是,行列式的等价定义,23,例,1,在,6,阶行列

9、式中，下列项应带什么符号,.,解,:,431265,的逆序数为,所以 前边应带正号,.,342165,的逆序数为,所以 前边应带正号,.,思考：上题还有第三种方法吗？,例 2 计算4阶行列式,25,解：根据定义，D是4！24项的代数和，但每一项的乘积 中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。,行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式Da11a22a33a44。,主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。,03,行列式中，除主对角

10、线上的元素以外，其他元素全为零（即ij时元素aij0）的行列式称为对角行列式，它等于主对角线上元素的乘积。,04,例3 证明,27,它的逆序数为,证:行列式的值为,上面的行列式中，未写出的元素都是0。,若乘积非零，j1j2jn只能是排列n(n1)2 1，,所以行列式的值为,28,例如,例4 证明,29,思考题,已知,思考题解答,31,解,含 的项有两项,即,对应于,3 行列式的性质,32,记,行列式,D,T,称为行列式,D,的转置行列式。,性质,1,行列式与它的转置行列式相等。,证：记,即,b,ij,a,ji,(,i,，,j,1,，,2,，,，,n,),说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此

11、行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。,交换第p、q两列，得行列式,证,对于D中任一项,34,推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。,与 只经过一次对换,在D1中必有对应一项,所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。,STEP3,STEP2,STEP1,性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。,性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。,性质5 若行列式的

12、某行（列）的元素都是两个数之和,例如,则行列式D等于下列两个行列式之和：,性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有,壹,贰,例1 计算四阶行列式,38,例2 计算四阶行列式,解：,4,行列式按行（列）展开定理,背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便，能否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？,以三阶行列式为例，容易验证：,-,+,可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式,先看下面两个定义：,40,则,A,ij,叫做元素,a,ij,的代数余子式。,显然，,A,ij,与行列式中第,i,行、第,j,列

13、的元素无关。,令,例如：三阶行列式中元素,的余子式,=,如：三阶行列式中元素,的代数余子式,定义 设 ，划去元素,a,ij,所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的（,n,1,）阶行列式叫做元素,a,ij,的余子式，记为,M,ij,。,引理 n阶行列式D中，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即DaijAij,证 先证i1，j1的情形,设,D,的第,i,行除了,外都是,0.,把,D,的第,行依次与第,行，第,行，,第,2,行，第,1,行交换；再将第,列依次与第,列,第,列，,，,第,2,列，第,1,列交换，这样共经过,次交换行与交换列的步骤,.,

14、对一般情形，只要适当交换,D,的行与列的位置，即可得到结论。,例1：计算四阶行列式,43,得,-,44,定理,3,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,：,（按行展开）,（按列展开）,例 1 计算行列式,46,解,由定理,3,，按第一行展开,得,也可以按其他行（或列）展开,说明：利用上述方法计算行列式也称为降阶法,例2 计算,47,解：,例3 计算行列式,(加边法),解 当x0 或y0时，显然D0，,现假设x0，且y0，由定理知,2,1,推论 行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,证,当ij,将式中ajk换成aik(k=

15、1,2,n),可得,01,02,同理可证,代数余子式的重要性质:,51,例4 已知,01,求,02,方阵的行列式,52,运算性质:,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，,叫做方阵 的行列式，记作 或,设,53,下面证明,定理,4,证明:,推论,2,设,推论,1,设,证明,:,构造一个行列式,对上述行列式作行变换，将第,n,+1,行的,a,11,倍，第,n,+2,行的,a,12,倍，,第,2,n,行的,a,1,n,倍加到第一行，得,定理,5,设,A,B,是,n,阶方阵，则,再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3,n)，第n+2行的ak2倍，第2n行的akn倍加到第k行，得,由定理,4,的推

16、论得,证明完毕。,注：设,A,B,是,n,阶方阵,则,求第一行各元素的代数余子式之和,02,思考题,01,思考题解答,60,01,解,02,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,5 行列式的计算,61,例,1,计算,一、对角线法则,此时，要结合行列式的各种性质，加以简化计算。,二、化为三角形行列式,例2,62,计算,三、数学归纳法,63,01,例3,02,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,03,证明,04,用数学归纳法,05,当n=2时,06,结论成立.,设对n1阶范德蒙德行列式结论成立，来证对n阶范德蒙德行列式结论也成立.,01,1阶范德蒙德行列式,02,证毕.,03,有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算,04,例4 计算,例5计算,66,例6证明,对阶数n用数学归纳法。,68,证明:,四、降阶递推法,69,例,7,计算,方法,:,降阶找递推公式,.,解 按第1行展开,有,70,例8,递推公式,-,72,解,(1),(2),(n-1),五、加边升阶 法,73,例9 计算,01,例10 计算,02,解：,说明：计算行列式的方法是多种多样的，这里仅列出了比较常见的几