重庆市西南大学附中2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测 数学.docx

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西南大学附中高 2025 届高二上阶段性检测（一）数 学 试 题（满分：150 分；考试时间：120 分钟）阶段性检测（一）数学 第12页（共6页）注意事项：2023 年 10 月1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例A．1 B．2 C．3 D．42. 样本中共有 5 个个体，其值分别为 x1，x2，x3，x4，x5 ．若该样本的平均数为 3，则3x1 +1， 3x2 +1，3x3 +1，3x4 +1，3x5 +1的平均数为（ ）A．1 B．3 C．9 D．103. 围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区 1000 户偏爱酒店的用户与 1000 户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（ ）A. 偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B. 在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高D．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等4. 现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球．周末，高二年级甲、乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球．在同一罚球点，两人各自踢了 10 个球，甲进了 9 个球， 乙进了 8 个球，以频率估计各自进球的概率．记事件 A：甲踢进球；事件 B：乙踢进球．甲、乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中， P( A B) = （ ）A. 45B. 910C. 1825D. 49505. 过点 A（1，−2）且与直线l : 2x - 6 y - 3 = 0 平行的直线方程是（ ）A． x - 3y - 7 = 0B． x - 3y + 5 = 0C． 3x + y -1 = 0D． 3x - y - 5 = 06. 抛掷一个骰子，将得到的点数记为 a，则 a，4，5 能够构成锐角三角形的概率是（ ）A. 16B. 13C. 12D. 237. 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一、高二、高三年级学生各有 700 人、600 人、700 人．其中高一年级平均每人拥有 1.1 个手机，方差为 0.5；高二年级平均每人拥有 1 个手机，方差为 0.4；高三年级平均每人拥有 0.9 个手机，方差为 0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（ ）A．0.433 B．0.435 C．0.442 D．0.4518. “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序． A．72 B．78 C．96 D．120二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9. 某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件 A =“两人都中奖”；B =C ¹Æ D = B“两人都没中奖”；C =“恰有一人中奖”；D =“至少一人没中奖”；下列关系正确的是（ ）C = DA. BB. AC. C Í DD. B10. 小张、小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析．其中小张每次测试的平均成绩是 135 分，全年测试成绩的标准差为 6.3；小陈每次测试的平均成绩是 130 分，全年测试成绩的标准差为 3.5．下列说法正确的是（ ） A．小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B．小张测试表现时而好，时而糟糕C．小陈比小张的测试发挥水平更稳定 D．平均来说小陈比小张数学成绩更好11. 下列说法错误有（ ）A. “a = -1”是“ a2 x - y +1 = 0 与直线 x - ay - 2 = 0 互相垂直”的充要条件B. 过（x ，y ），（x ，y ）两点的直线的方程为y - y1 = x - x1 1 1 2 2y - y x - x2 1 2 1C. 直线 x cos2 a + y sin2 a -1 = 0 恒过定点（1，1）D. 经过点（1，2）且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y - 3 = 012. 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为 1、2、3 的三个号签；乙袋有编号为 1、2、3、4、5、6 的六个号签. 现从甲、乙两袋中各抽取 1 个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件 A：从甲袋中抽取号签 1； 事件 B：从乙袋中抽取号签 6；事件 C：抽取的两个号签和为 3；事件 D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（ ）A. P( AB) = 118B. P(C) = 19C. 事件A 与事件C 相互独立 D．事件A 与事件D 相互独立三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13． 数据 2，4，5，8，a，10，11 的平均数是 7，则这组数据的第60 百分位数为 ．14. 若 A，B 两个事件相互独立，且P( AB) = 1 ，则P( A B) = ．315. 已知两点 A（−1，1），B（3，−2），过点 P（2，−1）的直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l（不考虑斜率不存在的情况）的斜率 k 的取值范围是 ．16. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为 0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高 0.1，反之，降低 0.1．则甲以 3∶1 取得胜利的概率为 ．四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (10 分) 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了 10 件钛合金产品进行抗拉强度（单位：MPa）测试，统计数据如下：910 905 900 896 907 912 915 893 903 899(1) 求这 10 件产品的平均抗拉强度 x 和标准差 s；(2) 该 10 件产品的抗拉强度位于 x - s 和 x + s 之间所占的百分比是多少？18． (12 分) 已知平面内两点 P（−1，−3），Q（3，3）．(1) 求 PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；(2) 过点 Q 作直线 l，分别与 x 轴，y 轴的正半轴交于 A，B 两点，当| OA | + | OB | 取得最小值时，求直线 l 的方程． 19. (12 分) 某中学为研究本校高二学生学完“概率与统计”之后的情况，进行了一次测验， 随机抽取了 100 位同学的测试成绩作为样本，得到以[80，90 ) ，[ 90，100 ) ，[100，110 ) ， [110，120 ) ，[120，130 ) ，[130，140 ) ，[140，150 ] 分组的样本频率分布直方图如图．频率组距0.0280.0220.0180.012x0.0080.002(1) 求直方图中 x 的值；80 90 100 110 120 130 140 150数学分数(2) 请估计本次该年级学生数学成绩的中位数和平均数；（计算结果精确到 0.1）(3) 样本内数学分数在[130，140 ) ，[140，150 ] 的两组学生中，用分层抽样的方法抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机选出 2 人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140 ) 中的概率． 20. (12 分）已知在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A + B = 2C，sin(B - A) = cos C ．(1) 求sin A ；(2) 若b = 3 ，求 AC 边上的高． 21. (12 分) 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的 11 题和 12 题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他1选择一个选项的概率是21，选择两个选项的概率是31，选择三个选项的概率是6．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第 11 题正确答案是两个选项，第 12 题正确答案是三个选项．(1) 求该同学 11 题得 5 分的概率；(2) 求该同学两个题总共得分不小于 7 分的概率．B1EAD22. (12 分) 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，B1A = B1C，AA1 =13，AB = 8，BC = 6，AB ^ BC ，5D 为 AC 中点， tan ÐBB1D = 12 ．A1 C1(1) 求证： BC ^ B1D ；(2) 线段 B1C1 上是否存在一点 E，使得 AE 与面 BCC1B1 的夹角12 74C正弦值为．185B参考答案一、选择题1—4 BDCD 5—8 ACCB9. ACD 10. BC 11. ABD 12. ABD二、填空题213. 9 14.315.(-¥, -1] U[- 2 , +¥)316. 0.17417.（1） x = 910 + 905 + 900 + 896 + 907 + 912 + 915 + 893 + 903 + 899 = 90410(910 - 904)2 + (905 - 904)2 + (900 - 904)2 + (896 - 904)2 + (907 - 904)2 + (912 - 904)2 + (915 - 904)2 + (893 - 904)2 + (903 - 904)2 + (899 - 904)2s2 = = 45.81045.8∴ s =45.8（2）∵ 6 < < 7∴ 897 < x - s < 898 ， 910 < x + s < 911∴ 6 ´100 ％=60％1018.（1）∵ P(-1, -3), Q(3, 3)∴ PQ 中点 M (1, 0), k = 3PQ 2∴ k = - 23直线l : y = - 2 (x -1) = - 2 x + 23 3 3（2）设 A(a, 0), B(0, b) 其中（ a,b > 0 ）则直线l : x + y = 1a b∵Q 在直线上∴ 3 + 3 = 1a b∴ a + b = (a + b)( 3 + 3) = 6 + 3b + 3a ³ 12a b a b当且仅当 a = b = 6 时，等号成立此时， l : y = -x + 619.（1） (0.012 + 0.022 + 0.028 + 0.018 + x + 0.008 + 0.002) ´10 = 1解得 x = 0.01（2）中位数= 100 + 0.16 ´10 = 105.70.28x = 0.12 ´ 85 + 0.22 ´ 95 + 0.28´105 + 0.18´115 + 0.1´125 + 0.08´135 + 0.02 ´145 = 107.4（3）[130,140) ：100 ´ 0.08 = 8 （人）； [140,150] :100´ 0.02 = 2 （人）∴在[130,140) 中抽取 4 人， [140,150]中抽取 1 人总共有 10 种情况，A:恰有一人成绩在[130,140) 中：4 种∴ P( A) =4 = 210 520.（1）∵ A + B = 2C, A + B + C = p∴ C = p3sin(B - A) = cos C = -cos( A + B)sin B cos A - cos B sin A = - cos A cos B + sin Asin B化简得(cos B + sin B)(cos A -sin A) = 0B = 3p p∴ （舍）或A =4 42∴ sin A =22236 + 21（2） sin B = sin( A + C) = sin Acos C + cos Asin C = ´ + ´ =2 2 2 2 4由正弦定理= ，可得c =9 2 - 3 6b csin B sin C 29 2 - 3 629 - 3 3∴ c sin A = ´ =2 2 221. 解：（1）根据题意，11 题得 5 分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有 6 种情况 AB, AC, AD, BC, BD,CD .所以 P = 1 ´ 1 = 1 5 分3 6 18（2）总得分不低于 7 分共 3 种情况，它们分别是：第 11 题得 5 分且第 12 题得 2 分；第 11 题得 2 分且第12 题得 5 分；第 11 题得 5 分且第 12 题得 5 分,记事件 A1 ：11 题得 2 分；事件 A2 ：11 题得 5 分；事件 B1 ：12 题得 2 分；事件 B2 ：12 题得 5 分则 P( A ) = 1 ´ 2 = 1 ； P( A ) = 1 1 2 4 4 2 18P(B ) = 1 ´ 3 + 1 ´ 1 = 13 ； P(B ) = 1 ´ 1 = 1 9 分 1 2 4 3 2 24 2 6 4 24P = P( A1B2 ) + P( A2 B1 ) + P( A2 B2 ) =37864……………………………………………….12 分22.（1）证明：连接 BD∵ AB = 8, BC = 6, AB ^ BC∴ AC = 10∵ D 为 AC 中点∴ BD = 55∵ tan ÐBB1D = 12 ，B D2 + BB 2 - BD2 12∴ cos ÐBB1D = 1 1 =2B1D × BB1 13∴ B1D = 121 1∵ B D2 + BD2 = BB 2∴ B1D ^ BD 2 分∵ B1 A = B1C 且 D 为 AC 中点∴ B1D ^ AC 3 分ïìB1D ^ AC∵ íB1D ^ BDîï AC I BD = D∴ B1D ^ 面ABC 4 分∵ BC Ì 面ABC∴ BC ^ B1D 5 分（2）如图，以 D 为原点， CB 为 x 轴正向， AB 为 y 轴正向， DB1 为 z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.A(3, -4, 0), B(3, 4, 0), C(-3, 4, 0), B1(0, 0,12), C1(-6, 0,12 ) ， BC = (-6, 0, 0), BB1 = (-3, -4,12)令 B1E = lB1C1 ，则 E(-6l, 0,12) ， AE = (-6l- 3, 4,12) 7 分令面 BCC1B1 的法向量为 nìïr uuurír uuurn × BC = 0，∴ n = (0, 3,1) 10 分ïîn × BB1 = 0| n × AE | sinq= cosa= r uuur =|n|×|AE|12 74185解得l= 13所以 E 是靠近 B1 的三等分点 12 分。